Weno, abans de ficar el de la formiga o del del camell (que necessites drogues dures per resoldre'ls) ... comencem amb el del mono:
Un mono, té una bossa amb un numero indeterminat de cacauets. Cada matí, el seu amo li afegeix 100 cacauets a la bossa. Després durant el dia, el mono es menja la mitat dels cacauets que es troba a la bossa, deixant la mitat a la mateixa bossa. Una nit, després d'uns quants anys, el seu amo va contar quants cacauets hi havia a la bossa .... quants ni havia ?
Endevina l'escena
Suposem que el primer dia la bossa estava buida, li tira 100 cacauets, el mono en menja la meitat i en queden 50.
El segon dia afegeix 100, el mono menja la meitat de 100 i la meitat dels que quedaven (50 ó 100/2), es a dir menja 50/2. En queden 50 + 50/2 + 50/4
Al cap de molt de temps queden ... la suma dels n termes d’una progressió geomètrica decreixent de termes:
A1 = 50, A2 = 50/2, A3=50/4 ...... i raó r = 1/2
S = a1 / (1 – r) = 50 / (1-1/2) = 100
El segon dia afegeix 100, el mono menja la meitat de 100 i la meitat dels que quedaven (50 ó 100/2), es a dir menja 50/2. En queden 50 + 50/2 + 50/4
Al cap de molt de temps queden ... la suma dels n termes d’una progressió geomètrica decreixent de termes:
A1 = 50, A2 = 50/2, A3=50/4 ...... i raó r = 1/2
S = a1 / (1 – r) = 50 / (1-1/2) = 100
Sempre dic que Tot es millorable.
Bé, suposem que inicialment hi haguessin N cacauets a la bossa.
Apart dels 100 que li posa l'amo cada dia i dels quals la suma que quedaria ja ho hem dit, d'aquests inicials, el primer dia en menjaria la meitat i en quedaria l'altre meitat, i així cada dia, es a dir, que al cap de n dies en quedarien d'aquests inicials:
N / 2**n que quant n tendeix a infinit val 0.
(Tambè la suma de la progresió geomètrica no arriba a 100 fins que es passa al límit de n tendint a infinit ...)
Bé, suposem que inicialment hi haguessin N cacauets a la bossa.
Apart dels 100 que li posa l'amo cada dia i dels quals la suma que quedaria ja ho hem dit, d'aquests inicials, el primer dia en menjaria la meitat i en quedaria l'altre meitat, i així cada dia, es a dir, que al cap de n dies en quedarien d'aquests inicials:
N / 2**n que quant n tendeix a infinit val 0.
(Tambè la suma de la progresió geomètrica no arriba a 100 fins que es passa al límit de n tendint a infinit ...)
Carles ha escrit:Exacte
El numero de cacauets inicials no importa.
A veure una mica d'ordre. Clar que importa els cacahuets inicials.
mariah ha escrit:Dons a veure si en tira 100 cada dia te 200 i menja la meitat queden 100 es així ?.
Tal com diu Mariah l'únic número inicial de cacahuets ha de ser 100. Aquest número fa que sempre hi hagin els mateixos al sac, independentment si els mires a l'any, als dos anys o als tres.
Si hi ha 100 cacahuets al posar cada dia 100 més sumen 200. La meitat 100 , hi poses 100 més 200, la meitat 100 i així es repeteix dia darrera dia.
Qualsevol altra qualtitat de cacahuets inicials (que no sigui 100) fa variar el número de cacahuets que hi ha a la bossa si els mires el 01-02-2011 a si ho fas el 05-06-2012. Si els inicials són 100 sempre tindrà els mateixos
Jo no sé de progressions geométriques, però si poseu una problema ha de tenir solució i Mariah l'ha clavat.
Punt per a Mariah.
Si teniu més dubte consulteu:
Codi: Selecciona’ls tots
Inicials +100 meitat +100 meitat +100 meitat
39 139 69,5 169,5 84,75 184,75 92,375
40 140 70 170 85 185 92,5
41 141 70,5 170,5 85,25 185,25 92,625
42 142 71 171 85,5 185,5 92,75
43 143 71,5 171,5 85,75 185,75 92,875
44 144 72 172 86 186 93
45 145 72,5 172,5 86,25 186,25 93,125
46 146 73 173 86,5 186,5 93,25
47 147 73,5 173,5 86,75 186,75 93,375
100 200 100 200 100 200 100
200 300 150 250 125 225 112,5
400 500 250 350 175 275 137,5Angeles, es que te solució !! I no depend del número de cacauets inicials !
Imaginat, que tenim C cacauets inicials.
El primer dia tindrem:
(C+100) / 2
El segon dia:
((C+100) / 2 + 100)/2
El tercer dia:
(((C+100) / 2 + 100)/2) + 100 / 2
Si ho fiquem maco la de tercer dia tenim:
C/2*2*2 + 100/2*2*2 + 100/2*2 + 100/2 =
C/2^3 + 100/2^3 + 100/2^2 + 100/2^1 =
C/2^3 + 100 * (1/2^3 + 1/2^2 + 1/2^1)
Es pot generalitzar, al dia n tindrem:
C/2^n + 100 * (1/2^n + 1/2^n-1 + ... + 1/2^2 + 1/2^1)
Quan n es fa gran 2^n es fa mooooolt gran, per tant C / algo molt gran, es algo moooolt petit, sigui quin sigui C: tendeix a 0.
Exemple: C = 5000 (molt alt oi ?) Imaginem que han passta 100 dies (poc):
C/2^n = 5000 / 2^100 = 3.9*10^-27 = 0,0000000000000000000000000039 cacauets.
Matemàticament:
Lim (n->ininit) C/2^n = 0
I quan n tendeix a infinit:
Lim (n->ininit) 1/2^n + ... + 1/2^2 + 1/2^1 = 1
Per tant han passat molts dies (n tendeix a infinit) tenim que:
lim (n->infinit) C/2^n + 100 * (1/2^n + ... + 1/2^2 + 1/2^1) = 0 + 100*1 = 100
Tinguem els cacauets que tinguem, amb el temps, el mono n'acabarà tenint 100.
Amb el teu excel, ho pots simulant fent MOOOLTES mes columnes, al final, tots els resultats tendiran a 100.
Adéu !
Imaginat, que tenim C cacauets inicials.
El primer dia tindrem:
(C+100) / 2
El segon dia:
((C+100) / 2 + 100)/2
El tercer dia:
(((C+100) / 2 + 100)/2) + 100 / 2
Si ho fiquem maco la de tercer dia tenim:
C/2*2*2 + 100/2*2*2 + 100/2*2 + 100/2 =
C/2^3 + 100/2^3 + 100/2^2 + 100/2^1 =
C/2^3 + 100 * (1/2^3 + 1/2^2 + 1/2^1)
Es pot generalitzar, al dia n tindrem:
C/2^n + 100 * (1/2^n + 1/2^n-1 + ... + 1/2^2 + 1/2^1)
Quan n es fa gran 2^n es fa mooooolt gran, per tant C / algo molt gran, es algo moooolt petit, sigui quin sigui C: tendeix a 0.
Exemple: C = 5000 (molt alt oi ?) Imaginem que han passta 100 dies (poc):
C/2^n = 5000 / 2^100 = 3.9*10^-27 = 0,0000000000000000000000000039 cacauets.
Matemàticament:
Lim (n->ininit) C/2^n = 0
I quan n tendeix a infinit:
Lim (n->ininit) 1/2^n + ... + 1/2^2 + 1/2^1 = 1
Per tant han passat molts dies (n tendeix a infinit) tenim que:
lim (n->infinit) C/2^n + 100 * (1/2^n + ... + 1/2^2 + 1/2^1) = 0 + 100*1 = 100
Tinguem els cacauets que tinguem, amb el temps, el mono n'acabarà tenint 100.
Amb el teu excel, ho pots simulant fent MOOOLTES mes columnes, al final, tots els resultats tendiran a 100.
Adéu !
Qui està connectat
Usuaris navegant en aquest fòrum: No hi ha cap usuari registrat i 74 visitants